إذا علم هذا فإن للسهام مع الرؤوس في حالة الكسر على ثلاث فرق أربع حالات رئيسة وهي:

موافقة السهام لرؤوس الفرق الثلاث.

مباينة السهام لرؤوس الفرق الثلاث.

موافقة سهام فريقين فقط لرؤوسهما ومباينة سهام الفريق الثالث لرؤوسه.

مباينة سهام فريقين فقط لرؤوسهما وموافقة سهام الفريق الثالث لرؤوسه.

ثم المثبتات التي هي حاصل النظر بين سهام كل فريق ورؤوسه إما أن تتماثل جميع المثبتات، أو تتداخل جميعاً، أو تتوافق جميعاً، أو تتباين جميعاً.

أو يتماثل منها فريقان ويداخلهما الفريق الثالث = ويوافقهما = =

فهذه ثلاثة عشرة في أربعة تبلغ اثنين وخمسين مسألة كما ذكرها ابن الهائم رحمه الله تعالى في الفصول واستقصاها في شرح الكفاية، وعدها شيخ شيخنا في النور الفائض عشر مسائل.

أما مماثلة العدد الثالث للمتداخلين والمتوافقين والمتباينين فمحال، وسبب ذلك: التفاضل بين العددين لأن مماثلة العدد للعددين المختلفين محال ولولا هذا لكانت المسائل أربعة وستين من ضرب ستة عشرة في أربعة، إذاً المتبقي معنا بعد هذا ثلاثة عشرة مسألة نضربها في أربعة باثنين وخمسين مسألة، وباعتبار العول وعدمه تكون المسائل مائة وأربعة وكل ذلك ممكن الوقوع.

وأما طريقة العمل في تصحيح الانكسار على ثلاث فرق فلا يختلف عن خطوات العمل في تصحيح الانكسار على فريقين إلا النظر بين رؤوس الفرق وهذا النظر يشمل ثلاث فرق وأربع وتحصيل هذا.